Numeri

NUMERI E ISTANZE DI NUMERAZIONE
TRA PREISTORIA E PROTOSTORIA LINGUISTICA DEL MONDO ANTICO
(Napoli 1-2 dicembre 1995)

Osservazioni su alcuni
testi matematici di Ebla

Vermondo Brugnatelli (Milano)

   Come si sa, i documenti giunti fino a noi dalle più antiche civiltà di Mesopotamia e Siria nella stragrande maggioranza dei casi non contengono testi poetici o religiosi, bensì, più banalmente, testi "economici". Ciò è ovvio, ove si pensi che funzione primaria della scrittura è stata quella di registrare debiti e crediti, pagamenti effettuati, entrate e uscite, ecc., mentre è relativamente più recente il suo impiego per testi "letterari", per i quali è stata a lungo considerata più idonea una conservazione e trasmissione mnemonica.
   A seguito di questa circostanza, gli assiriologi oltre che filologi devono essere anche un po' matematici: "la somma finale è esatta" (o: "non è esatta"); "nella lacuna va inserita la tal cifra", e via discorrendo, sono frasi che ricorrono con notevole frequenza nelle edizioni di tavolette.
   Inversamente, qualcuno che ci sappia fare un po' con i numeri ha la possibilità di capirci qualcosa, in molti testi, anche quando non sia uno specialista di interpretazioni del cuneiforme. Approfittando di questo fatto, anche il sottoscritto, si è sentito ogni tanto in grado di permettersi qualche incursione in un campo —l'eblaitico— che non rappresenta la sua filologia di elezione.(1)
   Nel corso dell'ultima di queste incursioni (1991) mi sono occupato di due tavolette contenenti calcoli espressi con misure di capacità,(2) che mi hanno consentito di compiere una verifica sul sistema effettivamente in vigore a Ebla, rilevando anche qualche novità inattesa, che ha posto nuovi interrogativi sulla questione delle unità di misura a Ebla e in tutto il Vicino Oriente antico.

1. Due "tavole di conversione decimale"
   I due testi in questione, di struttura assai simile, si presentano, tutto sommato, come due tavole di equivalenze. Il primo e il più semplice (TM.75.G.2346) contiene l'equivalenza tra una prima serie di misure di capacità espresse regolarmente in níg-sagshu e nella sua unità maggiore, il gubar, e una seconda serie di misure espresse, contro la pratica corrente, solo in níg-sagshu (e qui abbiamo sempre una cifra tonda: prima 100 níg-sagshu, poi 500, 1000, 5000, 10.000). Riporto qui integralmente il testo, con una disposizione che ne rende più evidente la struttura:

TM.75.G.2346


r. I.1-2	4 she gú-bar 4 níg-sagshu	1 mi-at níg-sagshu
3/II.1	20 1/2 she gú-bar 8 níg-sagshu	5 mi níg-sagshu
2-3	41 1/2 she gú-bar 4 níg-sagshu	1 li-im níg-sagshu
4/v.I.1-2	2 mi 10 lá-2 she gú-bar 8 níg-sagshu	5 li-im níg-sagshu
3/II.1	4 mi-at 20 lá-2 she gú-bar 4 níg-sagshu	1 rí-pap níg-sagshu

Sebbene fin dai primi studi di Pettinato sia stato stabilito che, di norma, nel sistema eblaita il gubar, unità maggiore, era formato da 20 níg-sagshu, qui i conti tornano a patto di attribuire al gubar un valore di 24 níg-sagshu(3) :

(4 x 24 = 96) + 4	=	100 níg-sagshu
(20 x 24 = 480) + 12 + 8	=	500 níg-sagshu
(41 x 24 = 984) + 12 + 4	=	1000 níg-sagshu
(208 x 24 = 4992) + 8	=	5000 níg-sagshu
(418 x 24 = 10.032) + 4	=	10.000 (!) níg-sagshu

   L'unica incongruenza, come si vede, è nell'ultima somma, dove il risultato dovrebbe essere 10.036 e non 10.000. La cifra che ci si attenderebbe sulla base dei valori determinati nelle prime 4 equivalenze è 416 1/2 gubar e 4 níg-sagshu, e dal momento che anche se si rifacessero i calcoli col gubar di 20 níg-sagshu i conti non tornerebbero (qui avremmo solo 8.364 níg-sagshu), qui ci deve proprio essere un errore da parte dello scriba eblaita. Spesso, però, anche lo studio del perché si commettono certi errori può aiutare a capire le cose(4). Ritorneremo comunque più avanti su questo interrogativo.
   Per il momento, chiediamoci: che scopo poteva avere una simile tavoletta? Da molti indizi mi sembra evidente che anche a Ebla, come a Mari, gli scribi indigeni, pur costretti —dalla tradizione scrittoria sumerica che avevano adottato— ad esprimere le cifre in misure sessagesimali "pensaient leurs chiffres dans le système centésimal et décimal et ... devaient, comme nous, se livrer fréquemment aux conversions qui s'imposent avec le système sexagésimal".(5) Questa tavoletta serviva evidentemente per facilitare queste conversioni.

   Passiamo ora all'altra tavoletta matematica. Si tratta di un'enigmatica «tabella di corrispondenze per aridi» (TM.75.G.1392), individuata come tale da F. Pomponio(6) , e sulla quale già diversi studi hanno tentato di fare luce(7) . Anche qui, come nel primo testo, abbiamo una serie di cifre tonde di un'unica unità di misura (questa volta sembra trattarsi di gubar), precedute da una misura espressa in diverse unità, nell'ordine gubar, níg-sagshu e anzam. Contrariamente all'altra equivalenza, però, qui i conti tornano (e con una precisione impressionante) calcolando un valore di 6 anzam per un níg-sagshu e di 22 níg-sagshu per un gubar:

TM.75.G.1392

r. I.1-2	3 gú-bar 4 an-zam_x	1 mi gú-bar
3/II. 1	30 gú-bar 6 SHÚxNÍG 4 an-zam_x	lú 1 li
2-3	3 mi 3 gú-bar 4 an-zam_x	lú 1 rí-pap
4/III.1	3 li 30 gú 6 SHÚxNÍG 4 an-zam_x	lú 1 ma-i-at
2-3	6 li 60 1/2 gú-bar 2 SHÚxNÍG.SAG 2 an-zam_x	lú 2 ma-i-at
IV.1-2	1 li 8 mi 20 lá-2 gú 4 SHÚxNÍG.SAG	lú 6 rí-pap
v. I.1-III.1	an.shè.gú 7 li 8 mi 80 lá-1 she gú-bar	lú 2 ma-i-hu 6 rí-pap

Calcolando secondo i valori sopra riportati le varie grandezze riportate nel documento, non abbiamo approssimazioni, per quanto vicine ad un risultato definito, ma si ottengono sempre risultati di una precisione assoluta:

[(3 x 132 = 396) + 4	=]	400 anzam	= 100 gubar
[(30 x 132 = 3960) + 36 + 4	=]	4000 anzam	= 1000
[(303 x 132 = 39996) + 4	=]	40.000 anzam	= 10.000
[(3030 x 132 = 399960) + 36 + 4	=]	400.000 anzam	= 100.000
[(6060 x 132 = 799920) + 66 + 12 + 2	=]	800.000 anzam	= 200.000
[(1818 x 132 = 239976) + 24	=]	240.000 anzam	= 60.000
totale: [7879 x 132	=]	1.040.028 anzam	= 260.000

   C'è sì una lieve discordanza nella somma finale, che è di 7.879 gubar invece di 7878 1/2 gubar, 6 SHÚxNÍG(.SAG) e 4 anzam, che corrisponderebbero al totale "tondo" di 1.040.000 anzam da porre accanto ai 260.000 gubar della seconda serie di grandezze (così ne avremmo invece 1.040.028), ma è evidente che per il risultato finale lo scriba si è accontentato di una cifra approssimata per eccesso limitandosi ad arrotondare il risultato in gubar.(8) La cosa più curiosa che emerge da questa tavoletta è la suddivisione del gubar in 22 sottomultipli, un ordine di frazionamento assolutamente isolato tra i sistemi dell'antichità.

2. I diversi tipi di gubar
   Mentre, con la pubblicazione dei testi di ARET IX, non sembra più possibile dubitare dell'esistenza di due tipi di gubar, costituiti da 20 e da 24 níg-sagshu, non mi risulta però che un gubar di 22 níg-sagshu sia fin qui stato rilevato in documenti economici. Per trovare un altro segnale della sua esistenza al di fuori del presente documento occorre ritornare all'errore che abbiamo sopra rilevato nell'ultima somma del documento TM.75.G.2346: infatti sembra possibile attribuire il totale finale errato proprio a confusione tra due tipi di gubar. La cifra risultante di 418 gubar e 4 níg-sagshu, qualora si attribuisse al níg-sagshu il valore di 1/22 di gubar, invece di 1/24, come nel resto del documento, darebbe un totale di (9196+4=) 9200, che a sua volta sarebbe esattamente cento volte superiore a (88+4=) 92 della prima misura calcolata secondo il medesimo rapporto.(9)
   Sembra quindi definitivamente da accettare l'esistenza a Ebla di tre diversi sistemi, che differivano tra loro solo per l'unità maggiore, che perlopiù era di 20 níg-sagshu , ma poteva essere di 24 e, più raramente, di 22:

anzam	x 6 ———>	níg-sagshu	x 20 ———>	gubar	(= 120 anzam)
anzam	x 6 ———>	níg-sagshu	x 24 ———>	gubar	(= 144 anzam)
anzam	x 6 ———>	níg-sagshu	x 22 ———>	gubar	(= 132 anzam)

   Queste considerazioni fanno ritenere probabile l'opinione di Pettinato (1974-77: 26) a proposito del gú-bar: «non mi sembra, nonostante l'apparenza, un termine sumerico, bensì semitico: sarei incline a connetterlo con la radice GBR "essere superiore", oppure con KBR "essere pesante, grande", nel senso quindi di misura colma, pesante». Avremmo dunque un termine semitico, suscettibile di valori diversi dallo specifico nome di un'unità di misura, per esempio quello, generico, di "grandezza".(10) E ciò permetterebbe anche di capire il perché dell'enigmatica equivalenza della seconda tavoletta considerata: 400 anzam non possono certo corrispondere a 100 gubar, qualunque sistema si adotti. Nel migliore dei casi equivalgono a 3 gubar e 1/3, nel peggiore a meno di 3. Quindi i casi sono due: o esiste un ulteriore "piccolo" gubar 33 volte più piccolo del normale (ma sarebbe una stranezza mai attestata altrove, e di nessuna utilità pratica), oppure gubar va preso qui nel senso di "grandezza", e quindi avremmo: 400 anzam (corrispondono a una) grandezza 100, 4.000 (sono uguali) a 1000, ecc. Più che una tabella di conversione decimale, come la precedente tavoletta, avremmo quindi qui un vero e proprio calcolo.

3. Sistemi "anomali"
   Il sistema con il gubar equivalente a 22 níg-sagshu è, come già si è detto, il più bizzarro e isolato rispetto agli altri sistemi del mondo antico. Come può essersi originato un sistema così "anomalo"? Prima di fare delle ipotesi sarà bene esaminare altri casi di valori "non tondi" attestati nel resto del mondo. Due esempi mi sembrano particolarmente significativi: la ghinea inglese del valore di 21 scellini (contro i 20 della sterlina) e le "centinaia" di 128 unità in uso in alcune zone rurali dell'Irlanda.

3.1 La ghinea
   Portata spesso ad esempio dell'amore degli Inglesi per i calcoli "poco pratici" a base non decimale, la curiosa unità della "ghinea" del valore di 21 scellini, uno in più della sterlina, deve in realtà questa sua bizzarra caratteristica a ben precisi motivi di ordine concreto. La ghinea è nata nel 1663 (sotto Carlo II) come moneta particolare, una moneta d'oro (deve il suo nome alla Guinea, da cui questo metallo proveniva), ed il suo valore, pur inizialmente previsto corrispondere a 20 scellini, era quindi legato a quello di questo metallo, mentre lo scellino era denominato sulla base del valore dell'argento. Per questo, al mutare del valore reciproco di argento e oro, anche il valore della ghinea variava rispetto a quello dello scellino. Nella storia esso è molte volte mutato, raggiungendo nel 1694 il livello di 30 scellini, ridiscendendo nel 1698 a 21 scellini e 6 pence e fissandosi nel 1717 al suo valore attuale di 21 scellini (meno amanti delle stranezze di quanto si creda, gli Inglesi tornarono poi nel 1817 a coniarsi un'unità superiore di 20 scellini tondi: l'attuale sterlina).
   Dunque, volendo astrarre un principio generale, si può pensare che valori "non tondi" possano discendere dal fissarsi di un rapporto tra "standard" in origine slegati tra loro. Quindi, per esempio, un gubar dal valore fisso secondo un certo standard "eblaita", calcolato in níg-sagshu di un altro sistema, mesopotamico o di altre città poteva dare un risultato diverso dai 20 o 24 sottomultipli dello standard cittadino. Ciò spiegherebbe la relativa rarità del sistema a 22.

3.2 Le "centinaia" irlandesi
   Un altro sistema a prima vista bizzarro è quello delle "centinaia" di 128 unità usate in certe zone dell'Irlanda per contare particolari derrate, come i pesci. Un suggerimento importante circa la genesi di questo sistema viene dato dalla descrizione del modo di contare:

Gli sgombri, prima d'essere caricati sul carro, venivano contati. I compratori pagavano il pesce a «centinaia». Ogni «centinaio» era di 128 sgombri. Tre sgombri si chiamavano «una mano» (lámh pron. [la:v]).(11) Una volta contate venti «mani», cioè sessanta, un uomo diceva «un'altra mano» e gettava altri tre sgombri sui sessanta; allora un altro uomo metteva da parte uno sgombro singolo e diceva «uno». Proseguivano così a contare per mezze «centinaia» (céad). Alla fine non avevano altro da fare che contare gli sgombri messi da parte per sapere quante «centinaia» di sgombri avevano. A sentire l'equipaggio fare la conta ("uno, due, tre... diciotto, diciannove, venti, «mano» e «uno»") sembrava che nel farlo avessero un ritmo simile a quello delle onde là fuori.(12)

   Vediamo che qui l'elemento importante nel generare un sistema "anomalo" è dato dalla "messa a parte di uno o più elementi ogni unità maggiore. In pratica, di una "percentuale": uno (più tre) ogni sessanta.
   Per venire alla situazione eblaita, balza all'occhio un dato evidente: 22 rappresenta il 10% in più di 20. Quasi che ad ogni gubar si aggiungesse "un decimo" dei níg-sagshu che lo componevano. E il pensiero non può non andare alla pratica, diffusa in tutto il mondo semitico, ma particolarmente in quello nordoccidentale, delle "decime", già attestate in ugaritico ('shrt) oltre che in ebraico ('is's'aron) e in accadico (eshretum). In questo caso, fare i conti con un gubar di 22 níg-sagshu sarebbe equivalso a calcolare il numero di gubar (regolari, da 20 níg-sagshu) "netti" che sarebbero avanzati dopo un prelievo di 2 níg-sagshu.
   Ma un "prelievo" di decime (o "tangenti", "creste"?) da parte di chi e a che scopo? Qui si arrestano le mie competenze matematiche e solo uno storico o un filologo potrà dire quanta verisimiglianza ci sia negli scenari che ho ipotizzato.

BIBLIOGRAFIA:

Alfonso ARCHI
   1989   «Tables de comptes eblaïtes», RA 83/1, 1 ss.
Vermondo BRUGNATELLI
   1982 a   Questioni di morfologia e sintassi dei numerali cardinali semitici, Firenze (Nuova Italia), 1982, cap. "Eblaitico", pp. 14-16
   1982 b   "Per un'interpretazione di TM.75.G.1392", Oriens Antiquus 21, 31-32
   1984 a   "Some Remarks on Semitic Numerals and the Ebla Texts" in: Studies on the Language of Ebla, (a cura di P. Fronzaroli), Firenze [«Quaderni di Semitistica» 13], 85-99
   1984 b   "Un problema di linguistica e filologia a Ebla: i numerali frazionari", in: VII Convegno internazionale di linguisti «Linguistica e filologia» - Preprints delle relazioni , Milano [suppl. n°41 a "Ricerca scientifica ed educazione permanente"], 29-30
   1987   "Linguistica semitica e filologia cuneiforme: problemi e riflessioni", in: Sodalizio Glottologico Milanese e Istituto Lombardo, Accademia di Scienze e Lettere, Linguistica e Filologia. Atti del VII Convegno Internazionale di Linguisti (Milano, 12-14 settembre 1984) Brescia (Paideia), 213-220
   1988   "Sprachwissenschaftliche Überlegungen zu einem literarischen Text aus Ebla", in: H. Hauptmann-H. Waetzoldt (Hrsg.) Wirtschaft und Gesellschaft von Ebla , Heidelberg [«Heidelberger Studien zum Alten Orient» 2], 173-178 (§1. "Die Siebenzahl", 173-6)
   1991   "Misure di capacità a Ebla", in: Studia linguistica Amico et Magistro Oblata: scritti di amici e allievi dedicati alla memoria di Enzo Evangelisti, Milano: Unicopli, 137-147

Patrick S. DINNEEN
   1927   Foclóir Gaedhilge agus Béarla, Dublin

Tomás LUIBHÉID
   1973   Ag tagairt don scéal, Baile Atha Cliath (=Dublino)

Giovanni PETTINATO
   1974-77   «Il calendario di Ebla al tempo del re Ibbi-Sipish sulla base di TM.75.G.427», AfO 25, 1-36.
   1979   Ebla. Un impero inciso nell'argilla, Milano

Denis SOUBEYRAN
   1984   "Textes mathématiques de Mari", RA 78, 19-48

Robert M. WHITING
   1984   "More Evidence for Sexagesimal Calculations in the Third Millennium B.C.", ZA 74.1, 59-66

NOTE
(1) I miei interventi sull'eblaitico riguardanti —in tutto o in parte— numeri, numerali e questioni matematiche sono elencati nella bibliografia in fondo. (Brugnatelli 1982 a e b, 1984 a e b, 1987, 1988, 1991).
(2)   Si tratta dei documenti TM.75.G.2346 (pubblicato poco prima ad opera di A. Archi 1989) e di TM.75.G.1392, già pubblicato dallo stesso Archi (1989) e prima, parzialmente, da G. Pettinato (1979: 155) e successivamente da F. Pomponio in MEE 3, 270 ss.
(3) Al momento in cui elaboravo il mio studio sulle misure di capacità a Ebla era ancora generalmente considerato valido il solo sistema a 20 n.s. per gubar. Nelle more di stampa venni a conoscenza di qualche anticipazione del volume di ARET 9, a cura di L. Milano, in cui trovava conferma la mia ipotesi dell'esistenza di un gubar di 24 n. s.
(4) "Errors... are common in calculations involving sexagesimal place notation, and, as in many other instances, the errors are more instructive to us than the correct answers." Whiting 1984: 62.
(5) Soubeyran 1984: 35.
(6) MEE 3, 270.
(7) Oltre al lavoro di Pomponio in MEE 3, cit., si veda V. Brugnatelli, «Per un'interpretazione di TM.75.G.1392», OA 21 (1982), 31-2, e J. Friberg, «The Early Roots of Babylonian Mathematics - III. Three Remarkable Texts from Ancient Ebla», VO 6 (1986) 3-25. Cf. inoltre gli accenni in proposito di J. Renger in «Überlegungen zur räumlichen Ausdehnung des Staates von Ebla an Hand der agrarischen und viehwiertschaftlichen Gegebenheiten», Ebla 1975-1985, Napoli 1987, 293-311, pp. 299 s.
(8) Una pratica, questa dell'arrotondamento per eccesso nella somma finale, non rara a Ebla, cf. p.es. SEb 3 (1980), 19.
(9) Come ho già avuto modo di rilevare, ricordo che questo errore sembra far pensare che il calcolo, invece di essere svolto a partire dall'ultimo passaggio (in questo caso, raddoppiando il valore corrispondente a 5000 n.-s. per arrivare al corrispondente di 10.000), veniva ripetuto sempre a partire dalla prima cifra (moltiplicando quindi per 10 il corrispettivo di 100 n.-s.).
(10) Valori diversi da quello di unità di misura sono già attestati per un altro termine sicuramente semitico, il parisu ("frazione", "metà [gubar]"), p. es. in ARET 2, 34 obv. iv, 5, (ì-ti wa pá-rí-zu wa íla, "ricevuta e ...[suddivisione, ripartizione?] e contributo"...) dove sembra essere un termine amministrativo, mentre in MEE 1, 974 parisatum sembra valere "tagliate, spezzate".
(11) Cf. P. S. Dinneen (1927) s.v. céad: «100 (...), often used loosely of a great number (...) also 120 (of seed, plants etc., that are counted in scores, as c. cabáiste, six scores of cabbage plants); c. éisc 128 fishes (Ker[ry])...»; s.v. lámh: «a hand (...) a measure of three (sometimes six) eggs, cabbage plants, sheaves etc.; three, of fish (forty "hands" with two extra making a "hundred", Ker[ry])».
(12) Tomás Luibhéid, Ag tagairt don scéal ("Un accenno in proposito"), Dublino 1973, Cap. V «La pesca», p. 67. La traduzione dall'irlandese è di mio padre, Enrico Brugnatelli, cui devo anche la segnalazione di questo curioso tipo di "centinaia".